有理数和无理数的区别在哪（有理数和无理数的区别）

导读 大家好，小品为大家解答以上问题。有理数和无理数的区别在哪，有理数和无理数的区别这个很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！ 解答：1

大家好，小品为大家解答以上问题。有理数和无理数的区别在哪，有理数和无理数的区别这个很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

解答：

1、 有理数不计其数。

2、 无理数数不胜数。

3、 谁有更多？还是同样的金额？

4、 无限和无限，你能比较谁多谁少吗？

5、 数轴上的点对应有理数还是无理数？

6、 有理数和无理数在数轴上是如何分布的？

7、 如何比较无限

8、 当我们比较有限的数字时，我们只需要比较具体哪个数字更大。鸡有两条腿，兔子有四条腿，所以兔子有更多的腿。有理数无数，无理数也无数。也许我们可以认为有无数个数字，都是取之不尽用之不竭的。然后就是一样多，但其实无穷也可以分大小，因为有限个数的方法不能用在无穷的情况下。

9、 怎么是无限的？

10、 所有正数和负数一样多。

11、 取正数集中的任意一个正数，就可以在负数集中找到与之对应的唯一负数。比如正数集中取1，负数集中会有-1，正数集中取，负数集中会有-，有正数时会有对应的负数。

12、 我们可以在正集合和负集合之间建立一一对应关系。所以正数和负数一样多。

13、 同理，我们可以得出结论，奇数和偶数一样多。

14、 取任意奇数2n-1，会有一个偶数2n与之对应。同样，我们可以在奇数和偶数集之间建立这种一对一的对应关系，所以奇数和偶数的数量一样多。

15、 我们把集合中的元素个数称为集合的基数，例如，集合{1}的基数为1，集合{1，2}的基数为2。

16、 判断无限集合基数相等的方法是在两个集合之间建立一一对应关系。

17、 第二，整体可以等于部分

18、 如果关于无穷大的比较就像上面一样简单，那么让我们继续看。

19、 所有偶数和所有整数一样多。

20、 什么事？偶数不是和奇数一样多吗？奇数和偶数一起构成整数。为什么偶数和整数一样多？

21、 整数集中的任意整数n在偶集中都会有与之对应的数2n，所以我们仍然可以建立整数集与偶集的一一对应关系，偶集中的任意偶数都会有与之对应的唯一确定元素。

22、 整体等于部分！这是一种我们不可能在有限中存在的情况，但它确实发生在无限集合中。

23、 让我们看另一个图形示例。在ABC中，假设BC边为2，DE为BC边对面的中线，所以DE=1。取BC边上的任意M点，连接AM，那么AM和DE必然有一个交点，表示为N，任意M点都会有与之对应的N点。

24、 这意味着长度为2的线段上的点与长度为1的线段上的点一样多！

25、 格奥尔格坎特甚至把这作为无限集合的定义：如果一个集合能与它的一部分形成一一对应，那么它就是无限集合。

26、 知道了无穷大的性质，我们得出结论：自然数、偶数和整数的个数是一样的。你可能会质疑，既然它们都是无限的，那么数量也是一样的。为什么我们需要讨论这么多？

27、 需要，这些集合的基数相等，因为它们有一个共同的特征：可数性。

28、 所谓可数，可以理解为能够找到一个规则，把所有的序列都列出来，然后按照这个顺序一直数下去。

29、 例如，自然数，0，1，2，3，4，5.例如，偶数，0，2-2，4-4，6-6.而且只要把它们都列出来，就可以建立一一对应关系，按顺序对应就好，即使不知道具体的规律，所以只要它们是可数的，集合中的元素就可以说。

30、 第三，有理数是可数的吗？

31、 可数的

32、 有理数可以用Q/P的形式表示，取有理数的正数部分。我们可以根据p q值从小到大列出所有正有理数。具体订单请参考下图。

33、 根据上述规则，所有正有理数都可以列出，负有理数也可以列出。

34、 所以有理数集也是可数集。

35、 补充可数集的概念：能与自然数集建立一一对应关系的集合。

36、 可数集的基数是最小的无限量，Cantor将这个量记录为0(希伯来语，发音为“Alev zero”)。同时，康托指出，Alev零是最小的无穷大。大于Alev零的无穷大在哪里？

37、 第四，上台！不合理的

38、 无理数可数吗？还是实数可数？

39、 答案是：没有

40、 康托尔的对角线方法被用来证明这一点。证明的过程很短，但可以称之为精美！(妈妈问我为什么跪下来看系列书)

41、 考虑整组实数是否可数，首先考虑0到1之间的实数是否都是可数的。错误的

42、0.1598545445……

43、0.6589745454……

44、0.5968974132……

45、0.9887946456……

46、0.3521587487……

47、0.1659842412……

48、……

49、以上的数随便写的，此时康托尔问，0.267865……在什么位置？

50、这个数是怎么取的呢？取第一个数的第一位小数加1，取第二个数的第二位小数加1，取第三个数的第三位小数加1，取第四个数的第四位小数加1……，也就是上面数中红色的数字加1。

51、假如0.267865……在第n个位置上，则它的第n位小数应该等于第n个数（也就是它自身）的第n位小数加1。

52、简单说，这个数的第n位小数等于它本身第n位小数加1。显然这是不可能存在的！

54、所以不存在任何一种方法能够把0-1之间所有的实数全部列举出来，当然也不可能存在一种方法能够把全体实力列出来。

55、像这样的无穷称为不可数无穷，不管你承认还是不承认，同样是无穷，也能分出不同种类。无理数集、实数集称为不可数集。

56、在数轴上任取一段线段，由这些连续着的点构成的集合均为不可数集，又称连续统。基数记为c。

57、既然已经明确了有理数代表着可数无穷，而无理数则代表着不可数无穷，那可数与不可数到底谁更多呢？换句话说，ℵ0与c谁更大呢？

58、事实上，从概率的角度来看，在数轴上任取一点，取到有理数的概率为0。

59、无理数是无限不循环小数，有理数包含整数、有限小数和无限循环小数，我们可以把整数和有限小数看成后面的小数位均为0的数，举个例子，1.8=1.800000……，后面的小数位都是0。

60、现在我们给一个数填充小数位，有无数个小数位需要我们填充，而填充的数字都是随机取的，所以说都取0或者说取到一列循环数的概率为0。借助于这样一个想法，无理数不仅比有理数多，而且多得多！

61、怎么样能够比无穷还要多？

62、对于集合{1}，它有两个子集：空集、{1}，子集组成的集合的基数为2^1；对于集合{1,2}，它有四个子集空集、{1}、{2}、{1，2}，子集组成的集合的基数为2^2，以此类推，若一个集合的基础为n，则其子集构成的幂集基数是2^n。

63、那如果原集合的基数是ℵ0呢？

64、事实上，康托尔已经证明出，c=2^ℵ0，这里的ℵ0是无穷大的，所以能想象c有多大吗？

66、康托尔所做的事情不止于此，他还猜想，在ℵ0和c之间不存在其他的无穷，即在ℵ0后的下一个无穷量便是c，即c=ℵ1（ℵ1即ℵ0后一个无穷量），这就是著名的“连续统假说”。1900年世界数学家大会上，希尔伯特把这个问题排在了20世纪23大有待解决的重要数学问题之首。

67、关于数轴，我们都知道数轴上的点与实数是一一对应的，或许会存在这样的想法，任意两个有理数之间还存在无数个有理数，此外有理数与有理数之间还会有缝隙，那便是无理数，这个缝隙有多少并不为我们所知，但两有理数之间还存在着无数个有理数是必然的。

68、所以有人会说有理数像砖，构成了数轴的主体，无理数像是胶水，把砖与砖之间的缝隙补充完整，构成一条完整的数轴。

69、从两者的数量对比来看，显然以上的想法大错特错，无理数更像是构成数轴的砖，占据着数轴的绝大部分。说来说去其实就是这么一个问题：有理数和无理数在数轴上是如何分布的？

70、借用一下狄利克雷函数：

72、这就是把有理数与无理数作个分离，那函数图像长啥样？也许是这样？

74、显然这只能是一种美好的想象，要是能画出来就好了，我就知道有理数和无理数如何分布了。真实存在却画不出来说得就是这个函数，数轴上见不了分晓。

75、说了老半天可数与不可数，却连数轴上的都无法作划分，区别这两个无穷又有什么意义？

76、有些时候是得区分一下的，比如在解释什么叫长度的时候。

77、线段由点构成，那为什么点的长度为0而线段长度却不为0？

78、造成这一误解的主要原因是我们错误地以为既然线段由点构成，那线段的长度就等于点的长度之和。即不断地计算0+0+0+0+……，按这么算结果应该始终为0才对。

79、怎么去计算0+0+0+0+……？先用第一个0加第二个0，再用结果加第三个0，一直这么加下去，以上计算的前提是这里所涉及的无穷必须是可数无穷，只有能先够把它们都先列出来，才能依次进行相加，先有可数才有可加。

80、然而问题是，线段上的点是可数无穷吗？不，它们是不可数无穷，是不能够列举出的，所以0+0+0+……的结果与线段的长度没有半毛钱关系，因为它们本来就不存在因果关系。

81、谢谢阅读。

本文就为大家讲解到这里，希望大家看了会喜欢。